Yapay Zekanın Matematikte Son Zamanlarda Çözdüğü ve Çözemediği Konular

Robert J. Marks / Mind Matters - Perspektif

OpenAI kısa süre önce, yapay zeka modellerinden birinin matematikteki öne çıkan açık bir problemi özerk bir şekilde ele aldığını duyurdu. Bu problem, Macar matematikçi Paul Erdős’ün 90 numaralı problemiyle ilişkilidir. Bu konu, ayrık geometrideki birim mesafe problemiyle ilgilidir.

Erdős’ün 90 numaralı problemi, düzlemdeki n adet nokta arasında oluşabilecek maksimum birim mesafe sayısını sormaktadır. n’nin küçük değerleri için bu problem kolayca çözülür. n’nin 3’e eşit olduğu durumda cevap eşkenar üçgendir. n = 4 için cevap, birleşik iki eşkenar üçgenden oluşan bir eşkenar dörtgendir. n değeri arttıkça problem daha da zorlaşmaktadır.

Abartıyı bir kenara bırakmak

İlk olarak, medyadan kaynaklanan olası bazı yanlış anlamaları ortadan kaldıralım.

*Herhangi bir imanın aksine, birim mesafe problemi henüz çözülmemiştir. 90 numaralı problemde Erdős (1913–1996), kanıtlanmamış ancak bilgiye dayalı bir önsezi olan kendi sınır değerinin doğru olduğuna inanıyordu. OpenAI’ın çözümü bu sınır değerini geliştirdi. Ancak bunun en uygun çözüm olduğunu kanıtlamadı.

*OpenAI, “Bu kanıt… matematiğin bir alt alanının merkezinde yer alan öne çıkan açık bir problemin, yapay zeka tarafından ilk kez özerk bir şekilde çözüldüğüne işaret ediyor” diye yazıyor. Bu doğru değildir. Scientific American dergisi, yapay zeka araçlarının 2025 yılının Ekim ayından bu yana yaklaşık 100 Erdős probleminin “çözülenler” sütununa aktarılmasına yardımcı olduğunu bildiriyor. Birkaç ay önce, Fields madalyası sahibi Terrence Tao, matematikteki birçok açık varsayımın “bir yapay zeka aracı tarafından aşağı yukarı özerk bir şekilde çözüldüğünü” bildirdi.

Bu açıklamalar, OpenAI modelinin yaptığı dudak uçuklatan işin değerini hiçbir şekilde düşürmemelidir. Benim daha da şaşırtıcı bulduğum şey, modelin özellikle matematik için eğitilmemiş olmasıdır. Aksine, model daha genel uygulamalar için eğitilmişti.

Paul Erdős kimdi?

Paul Erdős hakkında biraz bilgi sahibi olmak, onun kamyon dolusu matematiksel varsayımını daha iyi anlamamıza yardımcı olur.

90 numaralı varsayımın arkasındaki isim olan Erdős, göçebe bir dahinin eksantrik yaşam tarzını süren parlak bir Macar matematikçiydi. Kalıcı bir evi olmayan Erdős, sürekli bir üniversiteden diğerine seyahat etti. Dünya çapında yüzlerce matematikçiyle işbirliği yaptı ve 1.500’den fazla makale yazdı. Amfetamin gibi uyarıcılar kullandığı biliniyordu. Hatta bir iddia üzerine bu maddeleri kullanmayı bir aylığına bıraktığında, matematiğin bir ay geriye gittiğine dair şakalar yapmıştı.

Onun adı matematik alanında efsanevidir. Bir kişinin “Erdős sayısı”, bir tür “ayrılık derecesi” ölçüsüdür. Bu sayı, bir matematikçinin yazar olarak listelendiği makaleler ile Paul Erdős’ün yazar olarak listelendiği makaleler arasındaki bağlantı mesafesine göre belirlenir. (Benim Erdős sayım üçtür. Yaklaşık 33 bin kişi daha benimle aynı ayrıcalığı paylaşıyor.)

Arkasında 90 numaralı problem de dahil olmak üzere binden fazla çözülmemiş varsayım ve problem bıraktı.

Yatay İnovasyona Karşı Saf “Dahilik Parıltısı” Yaratıcılığı

Bazı matematiksel keşifler, dikey inovasyon için gereken saf yaratıcılıktan ziyade yatay inovasyondan kaynaklanır. Yatay inovasyon ile, halihazırda bilinen fikirlerin kaynaşmasını kastediyoruz. Bu, yeni içgörüler üretmek için mevcut kavramları yeni yollarla birleştirmek anlamına gelir. Buna karşılık, dikey inovasyon saf yaratıcılık gerektirir.

İşte yatay inovasyona bir örnek:

Zeka Parıltısı (Flash of Genius), Wayne Eyalet Üniversitesi’nde mühendislik profesörü olan Robert Kearns’in (1927‒2005) gerçek hikayesine dayanan 2008 yapımı bir filmdir. Kendisi fasılalı silecek sistemini icat etmiştir.

Söylentilere göre Kearns, hafif yağmurda araç kullanırken rahatsız oluyordu. Çünkü geleneksel silecekler sadece sabit hızlarda sürekli çalışıyordu ve bu hız çiseleyen yağmur için ya çok hızlı ya da çok yavaştı. O da gözü sürekli yıkamak yerine aralıklarla kırpan insan göz kapağıyla bir analoji kurdu. Bu gözlem, silme işlemleri arasında duraklayan bir silecek fikrine ilham verdi. Kearns’in icadı, bilindik iki gerçeğin birleşmesinden ortaya çıkmıştır. Bunlar, hafif yağmurda geleneksel sileceklerin verdiği rahatsızlık ve insan gözünün doğal, aralıklı kırpılmasıdır.

Robert Kearns’in biyografik filminin adı olan Zeka Parıltısı, eskiden Amerika Birleşik Devletleri’nde patent almak için bir gereklilikti. Patentlerin “yaratıcı bir zeka parıltısı” sergilemesi gerektiği kriteri, 1952 Patent Yasası ile terk edildi. Günümüzün daha düşük olan standardı, bir icadın yalnızca yeni ve yararlı olmasını gerektirir. Ayrıca ilgili alanda sıradan bir beceriye sahip bir kişi için aşikar olmamasını şart koşar. Kearns bu kriterleri karşıladı ve fikrinin patentini aldı. Yıllar süren yorucu davaların ardından, Ford ve Chrysler’e patent ihlali nedeniyle açtığı davaları başarıyla kazandı.

Kearns’in patenti, birbirinden tamamen farklı iki fikrin birleştirilmesi olan yatay inovasyonun, patent ofisinin mevcut kriterlerini karşıladığını göstermektedir. Patent gereklilikleri gevşek olabilir; hatta cesaret edip komik olduklarını bile söyleyebilirim. 1999 yılında Jeff Bezos, Amazon’un “Tek Tıkla” satın alma işlemini koruyan bir patentte kendi adını taşıyordu.

Birim mesafe probleminin yapay zeka çözümü, geleneksel olarak yalnızca ayrık kombinatoryal geometrinin matematiği kullanılarak araştırılıyordu, ancak bu hiçbir çözüme yol açmadı. OpenAI, farklı yaklaşımları keşfederken probleme harmonik analizi dahil etti. Böylece Erdős tarafından öne sürülen sınırın geliştirilmesine yardımcı oldu. Bu, fikirlerin harika bir evliliğiydi. Mevcut matematiksel araçları kullanan bir yatay inovasyondu.

Matematikte yatay inovasyon

İnsan bir matematik uzmanı olmak zordur. Geçen yüzyılda, bir buçuk milyondan fazla yazar tarafından yazılmış beş milyonu aşkın matematik yayını yapılmıştır. Buna, mühendislik ve fiziğin oldukça matematiksel olan alanlarındaki milyonlarca ek makale dahil değildir. Son yıllarda, her yıl yaklaşık 125.000 matematik makalesi eklenmektedir. Bu da günde 300’den fazla makale demektir. Bir insanın bu makale tsunamisine ayak uydurması mümkün değildir. Yapay zeka ise bunu yapabilir.

UCLA’de parlak bir matematik profesörü olan Terence Tao, matematik problemlerini çözmek için yapay zeka ile çalışıyor. Geçen yılın sonunda, Erdős 90 numaralı problemi için yapay zeka sonucu açıklanmadan önce şunları yazmıştı:

“Son haftalarda, bir yapay zeka aracı tarafından az çok özerk bir şekilde çözülen birtakım Erdős problemi örnekleri oldu, ancak daha sonra problemin literatürde yıllar önce zaten çözülmüş olduğu anlaşıldı.”

Tao şöyle devam ediyor:

“…Yapay zeka araçları artık Erdős problem veri tabanında açık olarak listelenen problemler arasında en kolay elde edilebilir olanları seçecek kadar yetenekli hale geliyor; ‘en kolay elde edilebilir’ derken ‘oldukça standart teknikler kullanan basit kanıtlara yatkın olanları’ kastediyorum.”

Matematikçiler Büyük Dil Modellerine (LLM’ler) nasıl bakmalı? MIT matematikçisi Andrew Sutherland, “Onlar artık faydalı araştırma asistanlarıdır” diyor. Aylarca sürecek literatür taramasını dakikalara sığdırabilirler.

Buna rağmen, Büyük Dil Modeli cevapları genellikle buğdayı samandan ayırmayı gerektirir. Üretken yapay zeka kusurlu kanıtlar ürettiğinde bile, bunlar yüzeyde genellikle mükemmel görünürler. Tao bu noktaya şöyle dikkat çekiyor:

“Hatalar genellikle gerçekten ince oluyor ve onları fark ettiğinizde aslında çok aptalca olduklarını anlıyorsunuz. Gerçekte hiçbir insan böyle bir hata yapmazdı.”

İyi matematikçilerin, bir şeyler ters gittiğinde alarm veren sezgisel ve “metaforik bir matematiksel koku alma” yeteneğine sahip olduğunu belirtiyor. “Sonuç olarak yapay zekanın bunu kopyalamasının nasıl sağlanacağı açık değildir.”

Bir yüksek lisans öğrencisiyken, Nobel Ödülü sahibi Richard Feynman’ın (1918–1988) bir öğrencisi tarafından verilen bir ders almıştım. Bize Feynman’ın şu felsefesi öğretilmişti: Eğer matematikle uğraşıyorsanız ve yanlış yoldan gidiyorsanız, matematik sizinle konuşur ve bir sorun olduğunu size bildirir. Ben o yoldan geçtim ve bu gerçekten doğru.

Peki ya gerçek yaratıcılık?

Nobel Ödülü sahibi Roger Penrose’a göre, gerçek insan yaratıcılığı; matematik, mühendislik, bilim ve hatta sahne sanatları alanlarında belgelenen bir zeka parıltısından gelir. Hem Nikola Tesla (1856–1943) hem de Friedrich Gauss (1777‒1855), aydınlanma anlarını tanımlarken birbirinden bağımsız olarak “bir şimşek çakması” terimini kullanmışlardır.

Isaac Newton’ın (1642–1747) meşhur bir sözü vardır: “Eğer daha uzağı görebildiysem, devlerin omuzlarında durduğum içindir.” Yatay inovasyon, sırtında durduğunuz kişiler tarafından yaratılan araçları kullanmaktan gelir. Buna karşılık yaratıcılık ise dikey inovasyondur. Devlerin sırtına yükseklik katar. Abaküsü, ardından Blaise Pascal’ın Pascaline makinesini, hesap makinelerini, elektronik tabloları ve ötesini düşünün.

İşte matematikte devlerin sırtına inşa edilmiş, olağanüstü ölçüde gerçek dikey entegrasyon örneklerinden bazıları:

*Newton, bugün Newton fiziği olarak adlandırdığımız alanın matematiğini tanımlamak için kalkülüsü yarattı. 

*Işık hızının hareketli gözlemcilerden bağımsız olduğunu varsayarak ve uzaydaki esir maddesi (eter) fikrini terk ederek, görelilik matematiği doğdu. 

*John von Neumann (1903–1957), ekonomi ve savaş oyunları gibi çalışmalarda kullanılan yepyeni bir matematik alanı olan oyun teorisini yarattı. 

*Claude Shannon (1916– 2001), oldukça etkili bir makaleyle modern bilgi teorisini başlattı. Bit terimini teknik sözlüğe kazandırdı. Aynı zamanda hesaplama, iletişim ve bilginin iletimi hakkındaki düşünce tarzımızda devrim yarattı.

Bunların tümü açık, yaratıcı ve matematiksel katkılardır. Diğer örnekler için, yatay ve dikey inovasyon arasındaki sınır daha bulanık olabilir. Yapay zeka gelişmeye devam ettikçe, bir bilgisayarın sınırlarına karşılık insan zihninin saf yaratıcı dehasını daha iyi anlamak için bu alana göz kulak olmamız gerekecek.

Yapay zekanın gerçek bir zeka parıltısının eşdeğerine sahip olduğunda dikey inovasyon sergilediğini kabul edeceğim. Şu ana kadar böyle bir kanıt göremiyorum. Sadece (oldukça etkileyici) yatay bir inovasyon.